Hace poco ví un documental en el que hablaban sobre la geometría fractal. Dentro de ese campo, se hablaba también de los conjuntos de Mandelbrot. Pero, vayamos poco a poco… La geometría fractal estudia objetos semigeométricos cuya estructura básica se repite en él a diferentes escalas. Dicho de otro modo, se podría decir que, la geometría fractal estudia objetos aparentemente caóticos y no geométricos (perdónemme los matemáticos, que ahora mismo estarán deseando de ahorcarme por decir semejante barbaridad). Lo asombroso de ésto, es ver que hasta en los objetos caóticos se siguen unos patrones de orden. Véamoslo en una imagen:

La curva que vemos en esa imagen es la llamada “curva de Koch” ó “copo de nieve de Koch”. Es un fractal en toda regla, ya que, aunque no parece caótico, su patrón básico se repite diferentes veces (iteraciones) a diferentes escalas. Lo bonito de la geometría fractal llega cuando Mandelbrot investiga estos peculiares objetos en la década de los 70 (siglo XX). El conjunto de Mandelbrot es quizás el conjunto de fractales más bonito y conocido que pueda existir, y como no es nuestra intención entrar en definiciones matemáticas complejas y que se escapan del alcance de éste blog, dejo un enlace a Wikipedia para quien quiera profundizar sobre la existencia, definición y propiedades de éste conjunto. La representación gráfica del conjunto de Mandelbrot, usando también un algoritmo de escape, es la siguiente:

Si nos fijamos, las zonas interiores a los cuadrados de colores, guardan cierta similitud con el conjunto entero, incluso con otras zonas del conjunto: Un mismo patrón se repite en todo el objeto y a diferentes escalas, como dijimos anteriormente. Lo curioso de eso, es que por más zoom que hagamos, siempre vamos a encontrar patrones que se repiten dentro de otros. Es decir, la distancia entre dos puntos cualesquiera es infinita. Como prueba de ello, os dejo una página en la que podréis hacer zoom al conjunto de Mandelbrot. El zoom no es infinito, pero sí suficiente como para comprender qué son los fractales y que es el conjunto de Mandelbrot. Y os aseguro que no sereis capaces de llegar al máximo del zoom…

Sé que he dejado muchas cosas en el tintero, y que quizás el artículo no es tan claro como debería, pero es tal la información, extensión y complejidad de éste tema, que tendría que hablar de otras muchas cosas para dejar todos los cabos bien atados. Como contrarrespuesta a eso, he ido dejando enlaces a la Wikipedia en aquellas partes donde es bueno ahondar un poco más.

Cuando llegamos a los supermercados y vemos que dos o más colas tienen aproximadamente la misma cantidad de gente se nos antoja una duda: ¿En qué cola nos ponemos? A partir de ahora, no tendremos que pensar mucho en esas ocasiones y acordarnos de lo que ahora vamos a explicar.

Ryan Sager se ha hecho la misma pregunta, pero desde un punto de vista más analítico: ¿Qué cola es mas rápida? Tras meditar mucho esta cuestión y hacer las pertinentes pruebas, Sager llega a la siguiente conclusión:

Un trabajador del supermercado tarda una media de 2.8 segundos en pasar cada producto de los que lleva el comprador. Dicho comprador tarda una media de 48 segundos en realizar el pago. Está claro, por tanto, que lo que más tiempo “gasta” es realizar el pago. Así, pongamos un ejemplo:

Una caja con 10 personas y 5 productos cada una, tardará algo más 10 minutos (620 segundos), mientras que una caja con 5 personas y 20 productos cada persona, tardará poco más de 8 (520 segundos).

Por supuesto, estos resultados a priori carecen de validez, puesto que no se han tenido en cuenta muchísimos factores (meter productos en bolsa, uno ó varios trabajadores por caja, problemas en el pago…). No obstante, parece bastante acertado, y desde que tengo conocimiento de esto, casi siempre suelo ponerme en las colas en las que hay más productos con menos gente. Y suele funcionar.

Seguramente, al igual que yo, habréis oido hablar muchísimo sobre la divina proporción, la razón aúrea, número dorado… Hoy, tras ver un interesantísimo documental matemático en el que, entre otras cosas, hablaban del número de oro, no he podido resistirme a crear un artículo.

El número de oro es un número irracional, representado por la letra Griega “Fi”, y cuyo valor es el mostrado en la imagen:

¿Qué diferencia a éste número de los demás? Sin ir más lejos, está presente en muchos patrones de la naturaleza: La relación entre las abejas macho y las abejas hembra de un panal, la distribución de los pétalos de una flor, la distancia entre las espirales de una piña… En el ser humano, determina la razón entre la altura y la altura del ombligo, la relación entre el diámetro de la boca y la nariz… En el arte y la cultura, las relaciones entre los objetos y paisajes mostrados por muchos artistas, viene determinada por éste número, al igual que las “efes” de un violín en su tapa… Y así hasta llegar a decenas de ejemplos. Pero ahondemos un poco más, ¿de donde viene éste número?

Supongamos un segmento “c”, que dividimos en otros dos segmentos, “a” y “b”, de forma que “a” es no sólo mayor que “b”, sino en proporciones exactas de lo que “c” sería a “a”. Veámos la siguiente imagen:

El resto es aplicar ecuaciones, y considerar las condiciones de contorno iniciales (“‘a’ es a ‘b’ lo que ‘c’ es a ‘a’”). De ésta forma, y considerando la longitud b=1 y a=x, tenemos:

Si despejamos x, nos queda una sencilla ecuación de segundo grado, que al resolverla, nos dará un resultado positivo y otro negativo. El positivo, es la razón aúrea:

Los alcances de dicho número no quedan aquí. Tanto se ha hablado sobre éste número que se llegó a decir incluso que es de origen divino. Las leyendas, historias y apariciones de éste número en la vida cotidiana son tan extensas que sería imposible recogerlas en éste post. Si quereis saber más acerca de éste número mágico, pinchad aquí.

Pierre de Fermat, un matemático Francés es conocido por sus grandes aportes a las Matemáticas y al Cálculo en particular. Pero, además, Fermat solía proponer a sus colegas y amigos problemas bastante complejos, enrevesados y difíciles de resolver. Uno de ellos es el que hoy os traigo, aunque es relativamente fácil de resolver si se encuentra el tick de la cuestión:

¿Qué numeros consecutivos hacen que se cumpla que el primero, origen de cuadrados, es menor que el segundo, y a su vez éste, menor que el tercero, que es origen del cubo de otro?

Planteemoslo de forma matemática, que es más fácil de ver:

a² < b < c³

siendo a², b, c³ tres números consecutivos. A primera vista, es un poco complejo de resolver, pero ánimo .

Si quereis ver la solución, pinchad en leer más.La solución a éste problema es la siguiente:

a² =25, b=26 y c³=27.

a² puede descomponerse como a·a, donde a=5. b sería 26, y c³ podría descomponerse en c·c·c, donde c=3. De ésta forma, se consiguen tres numeros consecutivos que cumplen el enunciado dado.

]]> http://www.yosoycurioso.com/2010/02/15/una-adivinanza-de-fermat/feed/ 2 http://www.yosoycurioso.com/2010/01/02/el-problema-del-reloj/ http://www.yosoycurioso.com/2010/01/02/el-problema-del-reloj/#comments Sat, 02 Jan 2010 10:53:38 +0000 Jesuso http://www.yosoycurioso.com/?p=159

Hoy os propongo un problema que ví hace tiempo y que me ha resultado curioso, tanto por su facilidad como por su ingenio:

Mi reloj tiene un pequeño problema, y es que no es muy preciso, y cada día atrasa en cierta cantidad la hora. El martes a las 16:50 lo puse en hora, y el jueves a la hora exacta del medio día marcaba 11:53 ¿Cuánto atrasa por día?

Si quereis ver la solución, pinchad en leer más.

SOLUCIÓN

La resolución del problema es meramente lógica, nada de “ideas felices”. Desde las 16:50 del martes hasta las 12:00 (hora exacta que es, no la que da el reloj), han pasado 43 horas y 10 minutos, lo que equivale a 2590 minutos. En ese tiempo, el reloj se ha atrasado 7 minutos.

El resto, es una simple regla de tres: Si por cada 2590 minutos se atrasa 7, por cada 1440 minutos (el equivalente a 24 horas), se atrasará X. Tras hacer los cálculos, sale que el reloj se atrasa 3,89 minutos por día. Fácil, ¿no?.

He visto un acertijo navideño en el blog de Tito Eliatron Dixit y no he podido resistirme a ponerlo. Es muy sencillo: Consiste en colocar los números del 1 al 9, ambos inclusive y sin repetir ninguno, dentro de las bolas y la estrella colocadas en el siguiente árbol de navidad, de forma que los números de cada lado sumen las mismas cantidades (incluyendo la base):

Es bastante fácil, aunque hay que pensar un poquito. Si quieres ver la solución, pincha aqui. Recomiendo que lo intentes, es un problema facilito que ayudará a mover nuestras neuronas, y más en estas fechas.

“2+1=3″. De ésta forma tan escueta y rápida, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, el famoso matemático Alemán conocido por sus valiosas aportaciones (Véase Wikipedia), le comunicó a su suegro que acaba de convertirlo en abuelo.

Visto en Tito Eliatron Dixit